jueves, 8 de noviembre de 2012

Factorizacion de Trinomios


Factorización de trinomios
Recordemos que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es de la forma (a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2, para poder factorizar un polinomio que presenta esta forma, veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1:Factorizar x2+2x-15
En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 2x tiene signo +.
En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +2x por el signo de -15, tenemos que + por - da -.
Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15 (x2+2x-15).
Para este caso particular los números son 5 y 3, ya que restándolos (5-3=2) dan dos y multiplicándolos (5*3=15) dan 15.
Por tanto, x2+2x-15 puede expresarse como: (x+3)(x-5).
Ejemplo 2:
Factorizar x2+6x-216
En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 6x tiene signo +.
En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +6x por el signo de -216, tenemos que + por - da -.
Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos:
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216 (x2+6x-216). Estos números no se ven fácilmente, para hallarlos descomponemos el tercer término en sus factores primos:
216
|
2
108
|
2
54
|
2
27
|
3
9
|
3
3
|
3
1
Ahora, formamos con estos factores primos dos productos. Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos números que buscamos. Así:
Primer número
Segundo número
Multiplicados
Restados
2*2*2=8
3*3*3=27
8*27=216
27-8=19, no nos sirven
2*2*2*3=24
3*3=9
24*9=216
24-9=15, no nos sirven
2*2*3=12
2*3*3=18
18*12=216
18-12=6, sirven
18 y 12 son los números que buscamos porque su diferencia es 6 y su producto es 216 (x2+6x-216).
Por tanto: x2+6x-216=(x+18)(x-12).

Diferencia de cuadrados


Diferencia de cuadrados
Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplo 1:Factorizar 1-a2
Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:
Raíz cuadrada del minuendo: Factorización

Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización

Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).
Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a)
Ejemplo 2:Factorizar 16x2-25y4
Raíz cuadrada del minuendo: Factorización

Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización

Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (4x-5y2).
Por lo tanto: 16x2-25y4 =(4x+5y2)( 4x-5y2)

Factorizacion de un binomio cuadrado perfecto


Factorización de un binomio cuadrado perfecto
Para saber si el polinomio que tenemos lo podemos factorizar como binomio cuadrado perfecto, debemos basarnos en la definición que se dio en el tema anterior.
Ejemplo 1:Factorizar a2-4ab+4b2
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:Factorización

Raíz cuadrada del tercer término:Factorización

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab
Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.
Ejemplo 2:Factorizar 36x2-18xy4+4y8
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Raíz cuadrada del tercer término: Factorización

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y4x
Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual.

Factorizacion

Factorización
Antes de iniciar con el tema de factorización es necesario definir uno de los conceptos que se utilizarán con mucha frecuencia.
Factor común.- se llama así al factor que aparece en cada uno de los términos de un polinomio.
Ejemplo 1: 2ax2-4ay+8a2x
Analicemos término por término:
El primer término podemos expresarlo como: 2axx
El segundo término podemos expresarlo como: -2*2ay
Finalmente el tercer término podemos expresarlo como: 4*2aax
Como podemos observar en los tres términos que componen el polinomio tenemos el término 2a, a este término se le conoce como factor común.
De esta forma 2ax2-4ay+8a2x, puede expresarse como: 2a (x2-2y+4ax)
No existen fórmulas para la factorización, pero al ser un proceso inverso a la multiplicación, la experiencia en las fórmulas revisadas anteriormente nos permitirá reconocer cuando una expresión algebraica es el producto resultante de factores conocidos.
Decimos que factorizamos completamente cuando llegamos a una expresión en que cualquier factorización posterior produce números fraccionarios.
Ejemplo 2:Factorizar 2x+6y.
2x+6y podemos expresarlo como 2*x+2*3*y
En este caso los coeficientes son múltiplos de 2; por lo tanto podemos tomar como factor común a 2, ya que aparece en ambos términos del polinomio.
2x+6y=2(x+3y)
Si ahora tomamos a 3 como factor común tenderemos (2)(3)Factorización
; quedando una fracción por lo que la factorización ya no es completa.
Ejemplo 3:Descomponer en factores a(x+2y)-3(x+2y)
En este ejemplo el factor común en (x+2y), ya que aparece en los términos que componen el polinomio, por tanto (x+2y)(a-3)=a(x+2y)-3(x+2y).

Ecuaciones


Las ecuaciones
  • Ecuación y función
  • Ecuación es toda función algebraica igualada a 0 ó a otra igualdad algebraica. A la primera parte de la igualdad se la llama 1er término y a la segunda se la llama 2º término. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo resultado.
    Hay distintos tipos de igualdades:
    Una igualdad numérica: 2+5=4+3
    Una igualdad algebraica: 2x+3x=6x
    Una función: 3x+2=y
    Una función es una expresión algebraica igualada a y.
    2. Resolución de ecuaciones
    Para resolver una ecuación, hallaremos el valor de la incógnita, siendo la incógnita el número desconocido, expresado normalmente por x.
    Pasos para resolver una ecuación:
    1º- Se quitan los paréntesis si los hubiere.
    2º- Se quitan los denominadores si los hubiere.
    3º- Se pasan todas las incógnitas al 1er miembro de la igualdad.
    4º- Se reducen los términos semejantes.
    5º- Hallamos el valor de la incógnita.
    Ej: 5x-7=28+4x ; 5x-4x=28+7 ; x=35
    Ecuaciones con denominadores:
    Quitamos los denominadores por el m.c.m. para ello:
    1º- Hallamos el m.c.m. de los denominadores.
    2º-Ese es el denominador común y lo sustituimos por los denominadores anteriores.
    3º- Se divide el m.c.m. entre el denominador antiguo y se multiplica por el denominador.
    Ej: x -4 = -3 ; m.c.m.(2 y 3)=6 ; 3x-24 = 2x-18 ; 3x-2x = -18+24 ; x = 6
    • 3
  • Sistemas de ecuaciones
  • Si una expresión algebraica la igualamos a otra expresión algebraica y nos encontramos con dos incógnitas necesitamos otra igualdad de expresiones algebraicas para poderla resolver.
    Una expresión algebraica con dos incógnitas es lo que llamamos sistema de ecuaciones.
    Todo sistema de ecuaciones necesita tantas ecuaciones como incógnitas tenga.
    Sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
    Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar cuatro métodos:
    1º- Método de sustitución.
    2º- Método de igualación.
    3º- Método de reducción o de sumas y restas.
    4º- Método gráfico.
    Resolver un sistema por el método de sustitución:
    1º- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
    2º- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
    3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.
    4º- Reducimos los términos semejantes.
    5º- Despejamos una incógnita y la sustituimos en la 2ª ecuación.
    6º- Resolvemos la ecuación resultante.
    Resolver un sistema por el método de igualación:
    1º- Quitar los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
    2º- Quitar los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
    3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.
    4º- Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.
    5º- Igualar las incógnitas despejadas y resolver la ecuación resultante.
    Resolver un sistema por el método de reducción o de sumas y restas:
    1º- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
    2º- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
    3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.
    4º- Igualar los coeficientes de una incógnita y cambiar de signo si son iguales.
    5º- Sumar o restar el sistema que ha quedado al multiplicar y resolver la ecuación resultante.
    P(x):Q(x)= 2x3-x2+3x-4
    R= -4
    Aqui un video de suma, resta y metodo de de reduccion en las ecuaciones:

    Algebra


    Álgebra
    1. Expresiones algebraicas
    Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.
    Coeficiente 3a2 Grado
    Parte literal
    Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.
    Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.
    Clases de expresiones algebraicas:
    1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x2
    2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy
    3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.
    Ej: 5x2 + 4y5 - 6x2y
    4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.
    Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:
    1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.
    2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.
    3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.
    Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor númerico.
    2. Ejercicios operatorios con los monomios y polinomios
    Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.
    Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3.
    Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4
    División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2
    Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.
    Ej: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x
    5x5+0x4+0x-x-x
    12x5+0x4+3x3+3x2-3x
    Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.
    Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
    Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x
    Q(x)= 2x3
    P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4
    División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.
    Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.
    Ej: 4x4-2x3+6x2-8x-4 2x
    -4x4 2x3-x2+3x-4
    0-2x3
    +2x3
    0+6x2
    -6x2
    0-8x
    +8x
    0-4
    3. Igualdades notables
  • Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.
  • Ej: (a+b)2= a2+2ab+b2
  • Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
  • Ej: (a-b)2= a2-2ab+b2
  • Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo.
  • Ej: (a+b)3= a3+3a2b+3b2a+b3
  • Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo.
  • Ej: (a-b)3= a3-3a2b+3b2-b3
  • La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.
  • Ej: (a+b) (a-b)= a2-b2

    Simplificacion de expresiones algebraicas



    Simplificar una expresión algebraica con paréntesis y productos supone aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y de la resta. La igualdad (1) enuncia la propiedad distributiva respecto de la suma y la igualdad (2) enuncia la propiedad distributiva respecto de la resta: 
    (1) k(a + b) = ka + kb
    (2) k(a – b) = ka – kb 
    Para simplificar, unas veces convertiremos un producto en una suma, y otras convendrá lo contrario, es decir, sacar factor común en la expresión. 

    I. Simplificar una expresión algebraica aplicando la propiedad distributiva

    Podemos simplificar una expresión algebraica al convertir un producto en una suma, aplicando la propiedad distributiva.

    1. Cuando el producto es de un número por un paréntesis

    Ejemplo: queremos simplificar las expresiones A y B que aparecen a continuación; aplicamos la propiedad distributiva en cada producto.
    A = 2(x + 1) – 4(3x – 6) = 2x + 2 – 12x + 24; simplificada: A = - 10x + 26
    B = a(a – 7) = a² – 7a
    2. Cuando el producto es de dos paréntesis 
    Usamos una “doble distributiva”, esto es:
    (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd,
    (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd,
    (a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd,
    (a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd
    Ejemplo: queremos simplificar las expresiones siguientes:
    A = (2x + 5)(x – 4) = 2x² – 8+ 5x – 20; simplificada: A = 2x² - 3x - 20
    B = (–5 + 3y)(y – 2) = –5y + 10 + 3y² – 6y; simplificada: B = 3y² - 11y + 10
    Nota: también podemos usar los desarrollos de los productos notables para simplificar este tipo de expresiones. 

    II. Extraer o sacar factor común en una expresión algebraica

    Al sacar factor común en una expresión algebraica, convertimos una suma algebraica en un producto.
    Por ejemplo: ka + kb = k(a + b) o ka – kb = k( b)
    En ambos casos hemos extraído el factor k que se repite en cada grupo de sumandos. k recibe el nombre de factor común.
    Este factor común puede ser un número, una letra, el producto de un número y una letra, el producto de dos letras o una expresión entre paréntesis.
    El factor común puede estar visible u oculto. Si está oculto, debemos averiguarlo.
    1. El factor común está visible
    Veamos algunos ejemplos.
    5x – 5a + 5b = 5(x – a + b); el factor común es 5.
    x² – 3x = x( 3); el factor común es x.
    (x + 2)(4x – 5) + (x + 2)(5x + 1) = (x + 2)[(4x – 5) + (5+ 1)]; el factor común es (+ 2).
    Simplificando: (+ 2)(9x - 4).
    (3x – 4)² – (3x – 4)(2x + 7) = (3x – 4)[(3x – 4) – (2x+7)]; el factor común es (3x – 4).
    Simplificando: (3x - 4)(x - 11).
    2. El factor común está oculto
    Veamos algunos ejemplos.
    A = 10a – 8= 2(5a – 4b)
    B = (2x + 3)(4x – 3) – (4x + 6)(7x + 8)
    B = (2x + 3)(4x – 3) – 2(2+ 3)(7+ 8); el factor común es (2x + 3).
    B = (2x + 3)[(4x – 3) – 2(7x + 8)]; y simplificando: B = (2x + 3)(4x - 3 - 14x - 16) = (2x + 3)(- 10x - 19)
    Nota: también podemos usar los trinomios cuadrados perfectos (productos notables) para simplificar expresiones algebraicas. Observa los dos ejemplos siguientes.
    Ejemplo 1: simplifica Simplificar expresiones algebraicas (1).
    Observa que la estructura de esta expresión es idéntica al desarrollo del cuadrado de una resta del tipo Simplificar expresiones algebraicas (1). Es decir, lo que tenemos que simplificar tiene una estructura de trinomio cuadrado perfecto: Simplificar expresiones algebraicas (1).
    Por tanto, podemos simplificar así:
    Simplificar expresiones algebraicas (1)
    También puede ocurrir que el trinomio cuadrado perfecto no se vea claramente hasta que hayamos realizado alguna simplificación previa. Vamos a verlo en el segundo ejemplo.
    Ejemplo 2: simplifica Simplificar expresiones algebraicas (1).
    Comenzamos extrayendo a como factor común:
    Simplificar expresiones algebraicas (1)
    Podemos observar que ahora el contenido del paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto:
    Simplificar expresiones algebraicas (1)
    Por tanto, simplificando: Simplificar expresiones algebraicas (1).

    Aquí un video que te lo explica mejor: