Matemáticas: Simplificacion de expresiones algebraicas

Simplificar una expresión algebraica con paréntesis y productos supone aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y de la resta. La igualdad (1) enuncia la propiedad distributiva respecto de la suma y la igualdad (2) enuncia la propiedad distributiva respecto de la resta:

(1) k(a + b) = ka + kb
(2) k(a – b) = ka – kb

Para simplificar, unas veces convertiremos un producto en una suma, y otras convendrá lo contrario, es decir, sacar factor común en la expresión.

I. Simplificar una expresión algebraica aplicando la propiedad distributiva

Podemos simplificar una expresión algebraica al convertir un producto en una suma, aplicando la propiedad distributiva.

1. Cuando el producto es de un número por un paréntesis

Ejemplo: queremos simplificar las expresiones A y B que aparecen a continuación; aplicamos la propiedad distributiva en cada producto.

A = 2(x + 1) – 4(3x – 6) = 2x + 2 – 12x + 24; simplificada: A = - 10x + 26
B = a(a – 7) = a² – 7a

2. Cuando el producto es de dos paréntesis

Usamos una “doble distributiva”, esto es:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd,
(a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd,
(a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd,
(a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd.

Ejemplo: queremos simplificar las expresiones siguientes:

A = (2x + 5)(x – 4) = 2x² – 8x + 5x – 20; simplificada: A = 2x² - 3x - 20
B = (–5 + 3y)(y – 2) = –5y + 10 + 3y² – 6y; simplificada: B = 3y² - 11y + 10

Nota: también podemos usar los desarrollos de los productos notables para simplificar este tipo de expresiones.

II. Extraer o sacar factor común en una expresión algebraica

Al sacar factor común en una expresión algebraica, convertimos una suma algebraica en un producto.

Por ejemplo: ka + kb = k(a + b) o ka – kb = k(a – b)
En ambos casos hemos extraído el factor k que se repite en cada grupo de sumandos. k recibe el nombre de factor común.

Este factor común puede ser un número, una letra, el producto de un número y una letra, el producto de dos letras o una expresión entre paréntesis.

El factor común puede estar visible u oculto. Si está oculto, debemos averiguarlo.

1. El factor común está visible

Veamos algunos ejemplos.
5x – 5a + 5b = 5(x – a + b); el factor común es 5.
x² – 3x = x(x – 3); el factor común es x.
(x + 2)(4x – 5) + (x + 2)(5x + 1) = (x + 2)[(4x – 5) + (5x + 1)]; el factor común es (x + 2).
Simplificando: (x + 2)(9x - 4).
(3x – 4)² – (3x – 4)(2x + 7) = (3x – 4)[(3x – 4) – (2x+7)]; el factor común es (3x – 4).
Simplificando: (3x - 4)(x - 11).

2. El factor común está oculto

Veamos algunos ejemplos.
A = 10a – 8b = 2(5a – 4b)
B = (2x + 3)(4x – 3) – (4x + 6)(7x + 8)
B = (2x + 3)(4x – 3) – 2(2x + 3)(7x + 8); el factor común es (2x + 3).
B = (2x + 3)[(4x – 3) – 2(7x + 8)]; y simplificando: B = (2x + 3)(4x - 3 - 14x - 16) = (2x + 3)(- 10x - 19)
Nota: también podemos usar los trinomios cuadrados perfectos (productos notables) para simplificar expresiones algebraicas. Observa los dos ejemplos siguientes.
Ejemplo 1: simplifica

.
Observa que la estructura de esta expresión es idéntica al desarrollo del cuadrado de una resta del tipo

. Es decir, lo que tenemos que simplificar tiene una estructura de trinomio cuadrado perfecto:

.
Por tanto, podemos simplificar así:

También puede ocurrir que el trinomio cuadrado perfecto no se vea claramente hasta que hayamos realizado alguna simplificación previa. Vamos a verlo en el segundo ejemplo.
Ejemplo 2: simplifica